- 追加された行はこの色です。
- 削除された行はこの色です。
#freeze
*はじめに [#w5ae99c9]
ここでは、Rを使って平均、分散、標準偏差を求めます。
『Rによるバイオインフォマティクスデータ解析』の3.3節「基本統計関数」に少しだけ出てきます。
#html{{
<iframe src="http://rcm-jp.amazon.co.jp/e/cm?t=tohgoroh-22&o=9&p=8&l=as1&asins=4320057082&ref=tf_til&fc1=444B4C&IS2=1<1=_blank&m=amazon&lc1=444B4C&bc1=FFFFFF&bg1=FFFFFF&f=ifr" style="width:120px;height:240px;" scrolling="no" marginwidth="0" marginheight="0" frameborder="0"></iframe>
<iframe style="width:120px;height:240px;" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" frameborder="0" src="https://rcm-fe.amazon-adsystem.com/e/cm?ref=tf_til&t=tohgorohmatsu-22&m=amazon&o=9&p=8&l=as1&IS2=1&detail=1&asins=4320057082&linkId=f6db5311dcfd9a82f5dee20859d39574&bc1=ffffff<1=_blank&fc1=444b4c&lc1=444b4c&bg1=ffffff&f=ifr"></iframe>
}}
*準備 [#q96ce9c2]
Rのインストールについては、次のページを見てください。
-[[MacでRを使う>機械学習/MacでRを使う]]
-[[WindowsでRを使う>機械学習/WindowsでRを使う]]
ここでは、標準で使用できる''irisデータセット''を使います。
#geshi(rsplus){{
> data(iris)
data(iris)
}}
このデータセットは、アヤメの種類（Species）を花びらの長さ（Sepal.Length）、幅（Lepal.Width）、がくの長さ（Petal.Length）、幅（Petal.Width）によって分類する問題です。
このデータセットは、アヤメの種類（Species）をがく片の長さ（Sepal.Length）、幅（Sepal.Width）、花びらの長さ（Petal.Length）、幅（Petal.Width）によって分類する問題です。
長さと幅は連続値、種類はsetosa, versicolor, virginicaのいずれかをとる離散値です。
このデータセットには、setosa, versicolor, virginicaという3種類のアヤメについて、それぞれ50個ずつ、合計150個のデータが含まれています。
ランダムに10個のデータを選択して、見てみましょう。
#geshi(rsplus){{
iris[sort(sample(1:150,10)),]
}}
#geshi(rsplus){{
> iris[sort(sample(1:150,10)),]
Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
4 4.6 3.1 1.5 0.2 setosa
22 5.1 3.7 1.5 0.4 setosa
65 5.6 2.9 3.6 1.3 versicolor
97 5.7 2.9 4.2 1.3 versicolor
100 5.7 2.8 4.1 1.3 versicolor
108 7.3 2.9 6.3 1.8 virginica
116 6.4 3.2 5.3 2.3 virginica
122 5.6 2.8 4.9 2.0 virginica
136 7.7 3.0 6.1 2.3 virginica
146 6.7 3.0 5.2 2.3 virginica
}}
論文に使用するグラフはカッコイイ方がいいので、グラフ作成ライブラリーのggplot2でもグラフを作成します。
#geshi(rsplus){{
install.packages("ggplot2")
library(ggplot2)
}}
ここでは、setosaのSepal.Lengthだけを扱います。
Speciesの値がsetosaのデータだけを取り出すには、次のようにします。
*記述統計 [#ea97832a]
標本を要約し、標本の情報をわかりやすく記述することを''記述統計''といいます。
ここでは、散布図、ヒストグラム、ボックスプロット（箱ひげ図）、棒グラフを作成します。
**散布図 [#xdbe2fbc]
横軸と縦軸にそれぞれ別の量をとり、測定値を点として表したグラフを散布図といいます。
2つの値を同時に測定し、[math]n[/math] 個の測定値の組を [math](x_1, x_2), (x_2, y_2),\dots, (x_n, y_n)[/math] としたとき、それぞれを [math]x[/math] 座標、[math]y[/math] 座標とする点として表したものです。
散布図を作成するには、''plot関数''を使います。
#geshi(rsplus){{
> iris[iris$Species=='setosa',]
plot(x=iris$Petal.Length, y=iris$Petal.Width,
xlab="Petal.Length", ylab="Petal.Width")
}}
コンマを忘れないようにしてください。
#ref(scatter.png,nolink)
Speciesの値がsetosaのデータのSepal.Lengthの値（つまり、1列目の値）だけを取り出して、setosa.Petal.Lengthとします。
ggplot2で散布図を作成するには、''ggplot関数''と''geom_point関数''を使います。
#geshi(rsplus){{
> setosa.Sepal.Length <- iris[iris['Species']=='setosa',1]
ggplot(data=iris, aes(x=Petal.Length, y=Petal.Width))+
geom_point()+
theme(aspect.ratio=1)
}}
#ref(ggplot2_scatter_bw.png,nolink)
近似直線を追加するには、''geom_smooth関数''を加えます。
#geshi(rsplus){{
ggplot(data=iris, aes(x=Petal.Length, y=Petal.Width))+
geom_point()+
geom_smooth(method="lm")+
theme(aspect.ratio=1)
}}
#ref(ggplot2_scatter_bw_lm.png,nolink)
種（Species）ごとに色と形を変えるには、''aes関数''の''color''と''shape''にカテゴリーを表す列を指定します。
#geshi(rsplus){{
ggplot(data=iris, aes(x=Petal.Length, y=Petal.Width, color=Species, shape=Species))+
geom_point()+
theme(aspect.ratio=1)
}}
#ref(ggplot2_scatter.png,nolink)
*ヒストグラム [#wa8f8e55]
ヒストグラムを表示するには''hist関数''を使います。
**ヒストグラム [#wa8f8e55]
測定値が存在する範囲をいくつかの区間に分け、各区間とその区間に属する測定値の個数との関係性を度数分布と言います。
度数分布を表すグラフをヒストグラムといい、底辺の長さが各区間の幅に比例し、その面積がその区間の度数に比例する長方形を近接して並べたものです。
ヒストグラムを作成するには、''hist関数''を使います。
#geshi(rsplus){{
> hist(setosa.Sepal.Length)
versicolor <- iris[51:100,]
hist(versicolor$Petal.Length, xlab="Petal.Length", main="")
}}
#ref(histgram_1.png,nolink,50%)
#ref(histogram.png,nolink)
区間は適当に決めてくれますが、区間を変更したり、色を付けたりすることもできます。
ggplot2でヒストグラムを作成するには、''ggplot関数''と''geom_histogram関数''を使います。
#geshi(rsplus){{
> hist(setosa.Sepal.Length, breaks=12, col='gray')
versicolor <- iris[51:100,]
ggplot(data=versicolor, aes(x=Petal.Length))+
geom_histogram()+
theme(aspect.ratio=1)
}}
#ref(histgram_2.png,nolink,50%)
#ref(ggplot2_histogram_bw.png,nolink)
頻度の替わりに確率密度を縦軸にすることもできます。
種（Species）ごとに色を変えるには、''aes関数''の''fill''にカテゴリーを表す列を指定し、''geom_histogram関数''の''position''に''identity''と指定します。（''alpha''には透明度を指定します。）
#geshi(rsplus){{
> hist(setosa.Sepal.Length, breaks=12, col='gray', freq=F)
ggplot(data=iris, aes(x=Petal.Length, fill=Species))+
geom_histogram(position="identity", alpha=0.8)+
theme(aspect.ratio=1)
}}
#ref(histgram_3.png,nolink,50%)
#ref(ggplot2_histogram.png,nolink)
*平均 [#ee0baa35]
平均は、値の合計を値の数で割ったものです。
\[\mu(X) = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\]
平均を求めるには、''mean関数''を使います。
**ボックスプロット（箱ひげ図） [#a5452015]
ヒストグラムの他に、測定値の分布やばらつき具合を表すグラフとして''ボックスプロット''（''箱ひげ図''）があります。
長方形の箱とその両端から伸びるひげで標本の統計量を表します。
箱の両端は、''第一四分位数''（最小値から全体の1/4のところにある測定値、25 パーセンタイル）と''第三四分位数''（最小値から全体の3/4のところにある測定値、75 パーセンタイル）を表し、箱の中の線は''中央値''（標本の大きさが奇数のときは全体の中央にある測定値、偶数のときは中央の2つの測定値の平均値、メディアン、50% パーセンタイル）を表します。
ひげの表し方には2種類あり、一つはひげの両端が最小値と最大値を表します。
もう一つは、ひげの両端が''箱の両端から第三四分位数と第一四分位数の差の1.5倍の範囲内での最小値と最大値''を表します。
後者の場合、ひげの両端よりも外側にある測定値を''特異値''（または''外れ値''）として丸印で表すこともあります。
#geshi(rsplus){{
> mean(setosa.Sepal.Length)
[1] 5.006
setosa <- iris[1:50,]
versicolor <- iris[51:100,]
verginica <- iris[101:150,]
boxplot(setosa$Petal.Length, versicolor$Petal.Length, virginica$Petal.Length,
names=c("Setosa", "Versicolor", "Virginica"), ylab="Petal.Length")
}}
#ref(boxplot.png,nolink)
平均値からのズレ [math]x_i - \mu(x)[/math] を偏差といいます。
ggplot2でボックスプロットを作成するには、''ggplot関数''と''geom_boxplot関数''を使います。
#geshi(rsplus){{
ggplot(data=iris, aes(x=Species, y=Petal.Length))+
geom_boxplot()+
theme(aspect.ratio=1)
}}
#ref(ggplot2_boxplot_bw.png,nolink)
*分散 [#ded26716]
種（Species）ごとに色を変えるには、''aes関数''の''fill''にカテゴリーを表す列を指定し、データをプロットするには''geom_jitter関数''を使います。（''size''には点の大きさ、''alpha''には透明度を指定します。）
#geshi(rsplus){{
ggplot(data=iris, aes(x=Species, y=Petal.Length, fill=Species))+
geom_boxplot()+
geom_jitter(size=0.5, alpha=0.8)+
theme(aspect.ratio=1)
}}
#ref(ggplot2_boxplot.png,nolink)
不偏分散は、標本（サンプル・データ）に含まれる値の偏差の平方和を標本数から1を引いた値で割ったものです。
なぜ標本数から1を引くのかについては、統計の教科書で勉強してください。
\[\mathrm{Var}(X) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu(X))^2}{n-1}\]
不偏分散を求めるには、''var関数''を使います。
**棒グラフ [#k3c837d7]
棒グラフを作成するには、''barplot関数''を使用します。
まず''aggregate関数''を使って平均を集計し、それを棒グラフにします。
#geshi(rsplus){{
> var(setosa.Sepal.Length)
[1] 0.124249
aggr <- aggregate(iris$Petal.Length, by=list(iris$Species), FUN="mean")
barplot(aggr$x, names=aggr$Group.1)
}}
#ref(barplot.png,nolink)
*標準偏差 [#t6948fa7]
ggplot2で棒グラフを作成するには、''ggplot関数''と''geom_bar関数''を使います。
ここでは、エラーバーを表示するために、''stat_summary関数''を加えます。
#geshi(rsplus){{
ggplot(data=iris, aes(x=Species, y=Petal.Length))+
geom_bar(stat="summary", fun.y="mean")+
stat_summary(fun.data="mean_se", geom="errorbar", width=0.5)+
theme(aspect.ratio=1)
}}
#ref(ggplot2_bar_bw.png,nolink)
不偏標準偏差は、不偏分散の平方根です。
\[\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}\]
不偏標準偏差を求めるには、''sd関数''を使います。
ボックスプロットと同様に、種（Species）ごとに色を変えるには、''aes関数''の''fill''にカテゴリーを表す列を指定し、データをプロットするには''geom_jitter関数''を加えます。（''size''には点の大きさ、''alpha''には透明度を指定します。）
#geshi(rsplus){{
> sd(setosa.Sepal.Length)
[1] 0.3524897
ggplot(data=iris, aes(x=Species, y=Petal.Length))+
geom_bar(stat="summary", fun.y="mean")+
stat_summary(fun.data="mean_se", geom="errorbar", width=0.5)+
theme(aspect.ratio=1)
}}
#ref(ggplot2_bar.png,nolink)
*正規分布の確率密度関数 [#sbccf3e1]
正規分布の確率密度関数は以下の式で与えられます。
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
Rで正規分布の確率密度関数を求めるには''dnorm関数''を用います。
パラメーターは平均 mean と標準偏差 sd です。
まずは、平均0、標準偏差1の正規を描いてみましょう。
グラフを描くには''curve関数''を使います。第一引数には変数xを含んだ式を与えます。
*推定統計 [#r4e375a0]
標本から母集団の情報を推定することを推定統計といいます。
**平均 [#ee0baa35]
''母平均''は、母集団の値の合計を母集団の大きさ [math]N[/math] で割ったものです。
\[ \mu(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \]
''標本平均''は、標本の値の合計を標本の大きさ [math]n[/math] で割ったものです。
\[\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
標本平均を求めるには、''mean関数''を使います。
#geshi(rsplus){{
> curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), from=-5, to=5)
setosa <- iris[1:50,]
versicolor <- iris[51:100,]
virginica <- iris[101:150,]
mean(setosa$Petal.Length)
mean(versicolor$Petal.Length)
mean(virginica$Petal.Length)
}}
#ref(density.png,nolink,50%)
#geshi(rsplus){{
> mean(setosa$Petal.Length)
[1] 1.462
> mean(versicolor$Petal.Length)
[1] 4.26
> mean(virginica$Petal.Length)
[1] 5.552
}}
標本平均の期待値は母平均に等しいため、標本平均を求めることで母平均を推定できます。
*ヒストグラムと確率密度関数の重ね書き [#p8498d99]
最後に、ヒストグラムとデータから推定した正規分布の確率密度関数を重ね書きしてみましょう。
まずは、ヒストグラムを確率密度で表示しておきます。
**分散 [#ded26716]
測定値の標本平均からのズレを''偏差''といいます。
''分散''は、値の偏差の二乗の総和を集団の大きさ [math]N[/math] で割ったものです。
\[\sigma(X)^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu(X))^2 \]
''不偏分散''（標本不偏分散）は、標本に含まれる値の偏差の二乗の総和を標本数から1を引いた数で割ったものです。
\[ s(X)^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{X})^2 \]
不偏分散を求めるには、''var関数''を使います。
#geshi(rsplus){{
> hist(setosa.Sepal.Length, breaks=12, col='gray', freq=F)
var(setosa$Petal.Length)
var(versicolor$Petal.Length)
var(virginica$Petal.Length)
}}
#ref(histgram_3.png,nolink,50%)
平均muと標準偏差sigmaを求めておきます。
#geshi(rsplus){{
> mu <- mean(setosa.Sepal.Length)
> sigma <- sd(setosa.Sepal.Length)
> var(setosa$Petal.Length)
[1] 0.03015918
> var(versicolor$Petal.Length)
[1] 0.2208163
> var(virginica$Petal.Length)
[1] 0.3045878
}}
不偏分散の期待値は母集団の分散に等しいため、不偏分散を求めることで母集団の分散を推定できます。
平均muと標準偏差sigmaの確率密関数をヒストグラムに重ね書きします。
**標準偏差 [#t6948fa7]
''標準偏差''は、分散の平方根です。
\[ \sigma(X) = \sqrt{\sigma(X)^2} = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu(X))^2} \]
''不偏標準偏差''（標本不偏標準偏差）は、不偏分散の平方根です。
\[ s(X) = \sqrt{s(X)^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{X})} \]
不偏標準偏差を求めるには、''sd関数''を使います。
#geshi(rsplus){{
> curve(dnorm(x, mean=mu, sd=sigma), add=T)
sd(setosa$Petal.Length)
sd(versicolor$Petal.Length)
sd(virginica$Petal.Length)
}}
#ref(histgram_4.png,nolink,50%)
#geshi(rsplus){{
> sd(setosa$Petal.Length)
[1] 0.173664
> sd(versicolor$Petal.Length)
[1] 0.469911
> sd(virginica$Petal.Length)
[1] 0.5518947
}}
不偏標準偏差の期待値は母集団の標準偏差に等しいため、不偏標準偏差を求めることで母集団の標準偏差を推定できます。
*平均値の差の検定（t検定） [#zf6ee43e]
setosaのSepal.Lengthの平均値は5.006でした。
versicolorのSepal.Lengthの平均値は5.936です。
**不確かさ [#u9f3ffa9]
この二つの平均値にの差には、意味があるのでしょうか。
「平均 [math]\mu(X)[/math]、標準偏差 [math]\sigma(X)[/math] の母集団から無作為に抽出した大きさ [math]n[/math] の標本の平均 [math]\overline{X}[/math] は、平均 [math]\mu(X)[/math]、標準偏差 [math]\frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}[/math] の正規分布に従う」という''中心極限定理''より、[math]n[/math] 個の測定値を平均すると標準偏差が [math]\frac{1}{\sqrt{n}}[/math] になることがわかります。
これを、''t検定''という方法によって調べることができます。
不偏標準偏差 [math]s(X)[/math] を標本の大きさの平方根 [math]\sqrt{n}[/math] で割ったものを、''標準不確かさ''（''標準誤差''）といいます。
\[ u(X) = \frac{s(X)}{\sqrt{n}} \]
''t検定''では、「二つの平均値の差には意味がある」という仮説に対して、「二つの平均値の差には意味がない」という反対の仮説（''帰無仮説''）を立て、帰無仮説が成り立たないことを示す（''棄却''する）ことによって、最初の仮説が成り立つことを示します。
標準不確かさに''包含係数'' [math]k[/math] をかけたものを''拡張不確かさ''といいます。
\[ U(X) = k \times u(X) \]
t検定を行うには、''t.test関数''を使います。
測定値が正規分布に従っていて、測定値が11個以上あるとき、測定値の95%が包含係数 [math]k=2[/math] の [math]\overline{X} \pm U(X)[/math] の範囲に含まれます。
この95%のことを''信頼水準''といいます。
1993年にISOを含む7つの国際機関が策定した「計測における不確かさの表現ガイド」に従うと、測定値は標準不確かさまたは拡張不確かさを用いて、次のように表します。
-[math]x = \overline{X}[/math]、標準不確かさは [math]u(X)[/math]
-[math]x = (\overline{X} \pm U(X))[/math]、ただし記号 [math]\pm[/math] に続く値は包含係数 [math]k=2[/math] から決定された拡張不確かさである
標準不確かさを求めるには、標本標準偏差を求める''sd関数''と平方根を求める''sqrt関数''を使います。
#geshi(rsplus){{
> setosa.Sepal.Length <- iris[iris['Species']=='setosa',1]
> versicolor.Sepal.Length <- iris[iris['Species']=='versicolor',1]
> t.test(setosa.Sepal.Length, versicolor.Sepal.Length)
sd(setosa$Petal.Length) / sqrt(50)
sd(versicolor$Petal.Length) / sqrt(50)
sd(virginica$Petal.Length) / sqrt(50)
}}
#geshi(rsplus){{
> sd(setosa$Petal.Length) / sqrt(50)
[1] 0.0245598
> sd(versicolor$Petal.Length) / sqrt(50)
[1] 0.06645545
> sd(virginica$Petal.Length) / sqrt(50)
[1] 0.0780497
}}
Welch Two Sample t-test
data: setosa.Sepal.Length and versicolor.Sepal.Length
t = -10.521, df = 86.538, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-1.1057074 -0.7542926
sample estimates:
mean of x mean of y
5.006 5.936
これを用いて、SetosaのPetal.Lengthの測定値を「長さ [math]l = 1.462[/math] cm、標準不確かさは [math]0.025[/math] cm」または「長さ [math]l = (1.462 \pm 0.049)[/math] cm、ただし記号 [math]\pm[/math] に続く値は包含係数 [math]k=2[/math] から決定された拡張不確かさである」と表します。
}}
これは、二つの群の分散が同じであることを仮定しない、Welchのt検定といいます。
二つの群の分散が同じであることを仮定する検定はStudentのt検定といい、オプションとして var.equal=T を付けます。
**95%信頼区間 [#m62d681f]
計測における不確かさの表し方が分野によってバラバラなのは良くないので「計測における不確かさの表現ガイド」が作成されましたが、 95%信頼区間もまだよく使われています。
''95%信頼区間''は、母集団の平均が95%の確率で含まれると推定される区間のことです。
標本の平均と母集団の平均の偏差を標準不確かさで割ったものを''t値''（''t統計量''）といいます。
\[ t(X) = \frac{\overline{X} - \mu(X)}{u(X)} \]
t値は、自由度 [math]n - 1[/math] の''t分布''（自由度が大きいほど正規分布に近づく分布）に従うことがわかっています。
そこで、この分布において上側の面積の割合が2.5%になるt値 [math]t_{n-1,2.5\%}[/math] を求め、これに標準不確かさ [math]u(X)[/math] を掛けると95%信頼区間の幅の半分が求まります。
つまり、母平均の95%信頼区間は次のように表されます。
\[ \overline{X} - t_{n-1,2.5\%} \times u(X) \le \mu \le \overline{X} + t_{n-1,2.5\%} \times u(X) \]
計測の不確かさを表すのに95%信頼区間を用いるとき、測定値は次のように表します。
-[math]\overline{X}[/math]（95%信頼区間 [math]\overline{X} - t_{n-1,2.5\%} \times u(X)[/math]–[math]\overline{X} + t_{n-1,2.5\%} \times u(X)[/math]）
95%信頼区間を求めるには、''t.test関数''を使います。
#geshi(rsplus){{
> t.test(setosa.Sepal.Length, versicolor.Sepal.Length, var.equal=T)
t.test(setosa$Petal.Length)
}}
#geshi(rsplus){{
> t.test(setosa$Petal.Length)
Two Sample t-test
One Sample t-test
data: setosa.Sepal.Length and versicolor.Sepal.Length
t = -10.521, df = 98, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
data: setosa$Petal.Length
t = 59.528, df = 49, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-1.1054165 -0.7545835
1.412645 1.511355
sample estimates:
mean of x mean of y
5.006 5.936
mean of x
1.462
}}
95%信頼区間 (''95 percent confidence interval'') のところを見ると、SetosaのPetal.Lengthの母平均の95%信頼区間は [math][1.412645, 1.511355][/math] です。
まず、p値（''p-value''）を見ます。
そこで、SetosaのPetal.Lengthの測定値を「長さは [math]1.462[/math] cm（95%信頼区間 [math]1.412[/math]–[math]1.511[/math] cm）だった」と表します。
p値が、0.1よりも小さいときは「10%有意で平均に差がある」、0.05よりも小さいときは「5%有意で平均に差がある」、0.01よりも小さいときは「1%有意で平均に差があるといいます。
この、10%、5%、1%のことを、''有意水準''といいます。
つぎに、95%信頼区間（''95 percent confidence interval''）を見ます。
平均値の差が95%の確率でこの区間に入ることを意味します。
この区間がゼロを含むときは、5%有意水準で帰無仮説を棄却できない、つまり、5%有意で平均に差があるとはいえません。
「5%有意で平均に差がない」ではないことに注意しましょう。
*演習 [#t115f943]
irisのSepal.Length以外のデータに対して、平均 [math]\mu[/math] と不偏標準偏差 [math]\sigma[/math] を求め、そのヒストグラムと平均 [math]\mu[/math]、標準偏差 [math]\sigma[/math] の正規分布の確率密度関数を重ねて描いてみよう。
Sepal.LengthとSepal.Widthの関係を表す散布図、VersicolorのSepal.Lengthの分布を表すヒストグラム、SetosaとVersicolorとVirginicaのSepal.Lengthの分布を表すボックスプロットを作成しよう。
また、irisデータにおいて、versicolorのSepal.Lengthの平均値とvirginicaのSepal.Lengthの平均値の間に統計的有意な差があるかどうかを調べてみよう。
Setosa, Versicolor, VirginicaのSepal.Lengthについて、それぞれの標本平均 [math]\overline{X}[/math] と標本標準偏差 [math]s(X)[/math] を求めてみよう。
*参考文献 [#zf4d0948]
-樋口千洋: ''Rによるバイオインフォマティクスデータ解析 第2版''－Bioconductorを用いたゲノムスケールのデータマイニング－, 共立出版 (2011)
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