バイオ・データ・マイニング/Rで主成分分析する のバックアップ(No.3)

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はじめに †

準備 †

データ

> data(iris)

主成分分析 †

主成分分析は，多変量解析の一手法で，高次元の数値データに対して合成成分を作る手法です．

この合成成分のことを主成分といい，次のように表されます．

\[\begin{array}{c@{}c@{}c} z_1&=&a_{1,1} x_{1} + a_{1,2} x_{2} + \dots + a_{1,p} x_{p} \\z_2 &=& \end{array}\]

例として，次のような2次元のデータを考えてみます．

主成分分析を実行する †

主成分分析を実行

> iris[sort(sample(1:150,10)),]
    Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width    Species
4            4.6         3.1          1.5         0.2     setosa
22           5.1         3.7          1.5         0.4     setosa
65           5.6         2.9          3.6         1.3 versicolor
97           5.7         2.9          4.2         1.3 versicolor
100          5.7         2.8          4.1         1.3 versicolor
108          7.3         2.9          6.3         1.8  virginica
116          6.4         3.2          5.3         2.3  virginica
122          5.6         2.8          4.9         2.0  virginica
136          7.7         3.0          6.1         2.3  virginica
146          6.7         3.0          5.2         2.3  virginica

主成分分析の結果

> iris.pc <- princomp(~Sepal.Length+Sepal.Width+Petal.Length+Petal.Width, data=iris, cor=T)

固有ベクトル

> iris.pc
Call:
princomp(formula = ~Sepal.Length + Sepal.Width + Petal.Length + 
    Petal.Width, data = iris, cor = T)

Standard deviations:
   Comp.1    Comp.2    Comp.3    Comp.4 
1.7083611 0.9560494 0.3830886 0.1439265 

 4  variables and  150 observations.
> summary(iris.pc)
Importance of components:
                          Comp.1    Comp.2     Comp.3      Comp.4
Standard deviation     1.7083611 0.9560494 0.38308860 0.143926497
Proportion of Variance 0.7296245 0.2285076 0.03668922 0.005178709
Cumulative Proportion  0.7296245 0.9581321 0.99482129 1.000000000

固有値

> unclass(iris.pc$loadings)
                 Comp.1      Comp.2     Comp.3     Comp.4
Sepal.Length  0.5210659 -0.37741762  0.7195664  0.2612863
Sepal.Width  -0.2693474 -0.92329566 -0.2443818 -0.1235096
Petal.Length  0.5804131 -0.02449161 -0.1421264 -0.8014492
Petal.Width   0.5648565 -0.06694199 -0.6342727  0.5235971

因子寄与率（主成分寄与率）

> iris.pc$sd^2
    Comp.1     Comp.2     Comp.3     Comp.4 
2.91849782 0.91403047 0.14675688 0.02071484 

因子負荷量（主成分負荷量）

> iris.pc$scores
         Comp.1       Comp.2       Comp.3       Comp.4
1   -2.26470281 -0.480026597  0.127706022  0.024168204
2   -2.08096115  0.674133557  0.234608854  0.103006775
3   -2.36422905  0.341908024 -0.044201485  0.028377053
4   -2.29938422  0.597394508 -0.091290106 -0.065955560
5   -2.38984217 -0.646835383 -0.015738196 -0.035922813
...

tは行列などを転置する関する，drop=F は行列と表示するオプション．

主成分分析の結果をグラフに表示する †

> biplot(iris.pc)

主成分スコアを求める †

データの行列と固有ベクトルの内積を求める

df <- data.frame(iris.pc$scores)
df <- transform(df, Species=iris$Species)

library(ggplot2)
ggplot(data=df, aes(x=Comp.1, y=Comp.2, color=Species, shape=Species)) +
  geom_point() +
  theme(aspect.ratio=1)

%*% は行列の積．

これをグラフにプロットする．

> plot(data.matrix(iris[,c(1,2,3,4)]) %*% unclass(loadings(iris.pc)[,c(1,2)]))