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- バイオ・データ・マイニング/Rで独立成分分析する へ行く。
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はじめに †
ここでは，Rを使って独立成分分析を行います．
準備 †
Rのインストールについては，次のページを見てください．
独立成分分析は，fastICAパッケージに含まれています． そこで，fastICAパッケージをインストールします． install.packagesコマンドを実行すると，パッケージをダウンロードするサーバーを聞かれますので，リストからJapanのどれかを選択します．
install.packages("fastICA") library(fastICA)
独立成分分析 †
独立成分分析 (Independent Component Analysis, ICA) は，多変量解析の一手法で，高次元の数値データを（独立に生起している）複数の成分に分解する手法です．
[math]n[/math] 個の信号源から発生した [math]n[/math] 個の [math]p[/math] 次元データ [math]s_1, \dots, s_n[/math] があり，観測した [math]m[/math] 個のデータ [math] x_1, \dots, x_m[/math] が次のような線形和で表されるとします． \[ \begin{array}{c@{}c@{}c} x_1 &=& a_{1,1} s_{1} + a_{1,2} s_{2} + \dots + a_{1,n} s_{n} \\ x_2 &=& a_{2,1} s_{1} + a_{2,2} s_{2} + \dots + a_{2,n} s_{n} \\ \vdots & & \\ x_m &=& a_{m,1} s_{1} + a_{m,2} s_{2} + \dots + a_{m,n} s_{n} \end{array} \]
これを [math]\mathbf{x} = A \mathbf{s}[/math] と表すと，[math]A[/math] の逆変換 [math]A^{-1}[/math] を使って [math]\mathbf{s} = A^{-1} \mathbf{x}[/math] と表すことができます． しかし，[math]A[/math] がわからないと [math]A^{-1}[/math] もわかりません． そこで，これを [math]W[/math] として，次のように表します． \[ \begin{array}{c@{}c@{}c} s_1 &=& w_{1,1} x_{1} + w_{1,2} x_{2} + \dots + w_{1,m} x_{m} \\ s_2 &=& w_{2,1} x_{1} + w_{2,2} x_{2} + \dots + w_{2,m} x_{m} \\ \vdots & & \\ s_n &=& w_{n,1} x_{1} + w_{n,2} x_{2} + \dots + w_{n,m} x_{m} \end{array} \]
独立成分分析は，観測した [math]m[/math] 個のデータ [math] x_1, \dots, x_m[/math] から [math]n[/math] 個の（独立な）信号源から発生した [math]n[/math] 個のデータ [math]s_1, \dots, s_n[/math] に復元する係数を求めます．
独立成分分析を行う †
標準で使えるirisデータセットに対して，主成分分析を行ってみましょう．
data(iris)
このデータセットは，アヤメの種類（Species）を花びらの長さ（Sepal.Length），幅（Lepal.Width），がくの長さ（Petal.Length），幅（Petal.Width）によって分類する問題です． 長さと幅は連続値，種類はsetosa, versicolor, virginicaのいずれかをとる離散値です．
このデータセットには，setosa, versicolor, virginicaという3種類のアヤメについて，それぞれ50個ずつ，合計150個のデータが含まれています． ランダムに10個のデータを選択して，見てみましょう．
iris[sort(sample(1:150,10)),]
